Технологии в электронной промышленности №7'2009

Способ обоснования объема выборки для испытаний изделий радиоэлектроники

Дмитрий Гаманюк

Оценка качества изделий радиоэлектроники осуществляется посредством анализа результатов испытаний ограниченного числа образцов, отобранных из всей изготовленной партии. Предлагается формализованный способ аналитического определения количества изделий, подвергаемых испытаниям. Способ основан на теории вероятностей.

В предыдущей публикации [1] был поставлен вопрос отсутствия строгого и нормативно закрепленного метода определения объема выборки для проведения периодических испытаний изделий радиоэлектронной аппаратуры (РЭА). Такие испытания необходимы для подтверждения соответствия изделий всем требованиям, которые установлены заказчиком, а также определения возможности продолжения выпуска по действующей конструкторской и технологической документации.

При оценке результатов периодических испытаний необходимо учитывать, что несоответствие изделия хотя бы одному требованию, заложенному в технических условиях (ТУ), однозначно заставляет считать их результаты отрицательными. Таким образом, по исправному функционированию малой части изготовленной партии будет оцениваться соответствие всей группы изделий.

Рисунок. Томас Байес

Данное обстоятельство может привести к четырем возможным результатам:

  1. Из дефектной партии будут выбраны дефектные изделия, испытания будут отрицательными, а партия забракована.
  2. Из соответствующей ТУ партии будут выбраны исправные изделия, испытания пройдут с положительными результатами, а партия принята и поставлена потребителю.
  3. Из дефектной партии будут выбраны исправные изделия, испытания пройдут с положительными результатами, партия будет принята и поставлена потребителю.
  4. Из соответствующей в целом ТУ партии будут выбраны дефектные изделия, испытания будут отрицательными, а партия забракована.

Последние два результата хотя и возможны, но крайне нежелательны. Они предопределены статистическо-вероятностным подходом к оценке качества партии по некоторой выборке. Третий из возможных результатов получил название «риск потребителя», а четвертый — «риск поставщика».

Для определения количественной формы таких рисков в техническом задании на разработку изделия заказчиком устанавливаются численные значения вероятностей принятия результатов 3 и 4. Риск поставщика традиционно обозначается через α, риск потребителя — через β.

Периодические испытания проводятся и для подтверждения соответствия изделий всем установленным заказчиком требованиям в течение всего срока службы. Такое соответствие и определяется как качество изделия. ГОСТ [5] определяет качество как степень соответствия совокупности присущих характеристик требованиям. Соответствие либо есть, либо нет. Степень этого соответствия может быть большой или маленькой. В любом случае это качественная оценка продукта.

Необходимость строгого аналитического обоснования количества изделий, подвергаемых испытаниям, неизбежно приведет к рассмотрению характеристик, имеющих реальные количественные значения. Определение же качества изделия как понятия, скорее, похоже на философскую категорию, чем на количественную меру описания состояния продукта.

В этой связи полезно будет рассмотреть надежность как одну из характеристик изделий РЭА, в том числе и их качества.

Надежность как переход к количественной мере оценки качества изделий РЭА

Надежность — это свойство радиоэлектронных приборов выполнять на требуемом уровне возложенные на них функции в определенных условиях и в течение заданного промежутка времени, установленных в ТУ [2]. Официальные документы [4] дают следующее определение: «Надежность — свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования».

Применительно к изделиям РЭА можно сказать, что надежность — это свойство изделия сохранять значения своих выходных параметров в заданных пределах, установленных в ТУ в течение установленного срока функционирования [3]. Видно, что это более конкретный, по сравнению с качеством, показатель, характеризующий РЭА. Здесь уже присутствуют требования и к определенному значению параметров изделия, и к условиям, в которых оно должно функционировать, и ко времени этого процесса. Все эти основополагающие моменты в определении надежности описываются количественно. Следовательно, возможна формализация, как процесса расчета, сравнения, так и оценки надежности. Это позволяет сравнивать уровни надежности аппаратуры разного функционального назначения, устанавливать степень ее надежности.

Итак, хотя понятие надежности также относят к качественным характеристикам изделия, существуют и вполне строгие ее количественные оценки. Это связано с тем, что заказчик аппаратуры стремится получить изделие со вполне конкретными, строго определенными свойствами, которые возможно установить только на количественном уровне. Именно поэтому, как на этапе проектирования, изготовления и испытания опытных образцов, так и на этапе эксплуатации, производится аналитическая оценка надежности с целью определения ее соответствия заданным в техническом задании требованиям. Необходимость и возможность аналитического определения надежности еще на этапе проектирования, как будет показано далее, и позволит реализовать способ определения объема выборки изделий, подвергаемых испытаниям.

Строго говоря, определяется не надежность, а ее количественные показатели. Оценка качества изделий РЭА принципиально возможна с помощью двух подходов: вероятностного и статистического. Причем первый подход реализуем на этапе предварительной оценки надежности, то есть в ходе проектирования, а второй — по результатам испытаний и эксплуатации. Таким образом, при количественном анализе качества может быть использован аппарат математической статистики и теории вероятностей.

Итак, основными количественными показателями надежности являются вероятность безотказной работы (ВБР) и вероятность отказа [2, 3].

ВБР — это вероятность того, что за установленное время наработки (от 0 до t) в заданных условиях эксплуатации не произойдет ни одного отказа РЭА:

p(t) = P {Tср > t},

где Tср — среднее время наработки до отказа. Математическая статистика определяет вероятность безотказной работы по результатам испытаний (эксплуатации) N0 количества образцов:

p(t) = 1–[n(t)/N0],

где n(t) — число изделий, отказавших за время t.

Отказ как событие противоположно безотказному функционированию, поэтому вероятность отказа является величиной, противоположной ВБР. В соответствии с законами теории вероятностей вероятность отказа можно определить по формуле:

q(t) = 1–p(t) = P {Tср ≤ t}.

Статистическая формула для определения вероятности отказа:

q(t) = 1–p(t) = n(t)/N0.

Для практического расчета вероятности безотказной работы конкретных приборов РЭА используются, как правило, методики, имеющие статус отраслевых стандартов, и созданные на их основе стандарты предприятий. Имеющиеся, в соответствии с системой менеджмента качества, на каждом сертифицированном предприятии подразделения надежности решают задачи определения надежности, как на этапе проектирования, так и в ходе эксплуатации изделия. Это позволяет иметь результаты вероятностных определений надежности на этапе проектирования и данные, подкрепленные статистикой, после начала эксплуатации изделий.

Теорема гипотез и ее использование для определения объема выборки

Решение задачи определения объема выборки предлагается на основе достижений раздела математики — теории вероятностей. Такой подход оправдан общим вероятностным описанием основных количественных характеристик надежности и, как следствие, качества.

В теореме гипотез [6, 7] используются понятия условной и безусловной вероятности. Под условной вероятностью будем понимать вероятность наступления какого-либо события, при условии, что другое, связанное с ним событие произошло. Безусловная вероятность — это вероятность наступления какого-либо события, не зависящего от остальных условий и событий. События будем обозначать большими буквами латинского алфавита. Для системы попарно несовместных событий Аi, Р(Аi) > 0, теорема гипотез может быть сформулирована следующим образом. Условная вероятность наступления события Аk при условии наступления события В определяется как отношение произведения условной вероятности наступления события В при условии наступления события Аk на безусловную вероятность события Аk к безусловной вероятности наступления события В.

Система попарно несовместных событий включает в себя элементарные события, которые, в условиях конкретной задачи, являются взаимоисключающими. Например, при проведении периодических испытаний изделие может либо выдержать испытания, либо нет. Аналитически запись этой теоремы выглядит следующим образом:

Составляющие выражения (1) имеют и «нематематическое» содержание. Выражение слева от знака равенства является апостериорной вероятностью события А, то есть вероятностью, зависящей от наступления события В. Вероятности Р(Аk) и Р(В) представляют собой априорные вероятности, то есть вероятности, полученные аналитически, до их экспериментальной оценки.

Если представить вероятность события В (знаменатель (1)) через формулу полной вероятности события [6, 7], то формула (1) примет вид:

В теории вероятностей формула (2) носит название формулы Байеса — в честь английского математика XVIII века. Томас Байес (Thomas Bayes, 1702–1761 г.) — священник по своему призванию — доказал зависимость (2), позволяющую повышать достоверность определения вероятности события с помощью использования их эмпирических оценок. В формуле Байеса условные вероятности физически представляют собой апостериорные вероятности, то есть уточняемые в ходе решения задачи, а безусловные — априорные вероятности событий — вычисленные, полученные до начала опыта.

Выводы работы Байеса, опубликованной в 1763 г., уже после смерти автора, фактически позволяют по оценкам факта наступившего события определять вероятность возникновения этого факта по той или иной причине.

События Аi(i = 1…N) в выражении (2) и представляют собой все возможные условия, влияющие на возникновение события В, и называются гипотезами.

Вернемся теперь к надежности, ее количественным показателям и задаче обоснования объема выборки. На основании формулы Байеса опишем, используя обозначения формулы (2), ситуацию, которая возникает при проведении периодических испытаний.

В рассматриваемом случае целесообразно рассмотреть две гипотезы: А1 — о правильности предположения о соответствии изделий всей партии требованиям ТУ и А2 — о неправильном предположении соответствия изделий всей партии требованиям ТУ. Здесь необходимо отметить, что абсолютная безотказность изделий невозможна. Как было сказано выше, в техническом задании заказчика закладывается вероятность безотказной работы, которая, естественно, всегда меньше 1. Поэтому в гипотезах речь идет не о безотказности изделий, а об их соответствии ТУ. Учитывая, что требования к ВБР современной электроники очень высоки, в данном случае будем отождествлять понятия «безотказное функционирование» и «соответствие ТУ».

Р(А1/В) — апостериорная вероятность правильности предположения о безотказности всей изготовленной партии при условии наступления события В — проведения успешных испытаний N штук изделий. Эта вероятность будет находиться слева от знака равенства.

Р(А1) — априорная вероятность наступления гипотезы 1 — правильности предположения о безотказности всей партии.

Р(В/А1) — вероятность успешного испытания N изделий из партии, при условии, что гипотеза А1 верна. Иначе говоря, это вероятность успешно пройти периодические испытания на выборке при ВБР изделия, соответствующей ТУ.

Р(А2) — априорная вероятность наступления второй гипотезы — неверности предположения о безотказности всей партии изделий.

Р(В/А2) — вероятность успешного испытания N образцов, при условии, что гипотеза А2 верна. То есть это вероятность успешно пройти периодические испытания на выборке в N штук изделий при дефектности остальной партии.

Таким образом, на основании (2):

Такая запись была предложена Р. Е. Боссом в 1965 г. [8].

Проанализируем составляющие выражения (3).

Величина Р(А1/В) — искомое значение апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам положительных испытаний выборки объема N. Фактически это вероятность, обратная значению риска потребителя β. Информация о значении β есть в ТУ на любое изделие из рассматриваемой группы. В соответствии с теоремой сложения вероятностей [6]: Р(А1/В) = 1–β.

Р(А1) — априорная вероятность правильности предположения о безотказности изделий. Величина этой вероятности будет меняться при прохождении стадий разработки изделий. На этапе проектирования, когда нет подтвержденных испытаниями и эксплуатацией значений ВБР, значение вероятности целесообразно принять равным 0,5. Если безотказность меньше 0,5, испытания проводить нецелесообразно. В дальнейшем, на этапе уже серийного производства значение Р(А1) будет возрастать.

Р(В/А1) — по условиям задачи приближается к 1 и принимается равной этому значению. Действительно, при успешном функционировании ВБР изделия соответствует своему расчетному значению, а если оно близко к 1, то и Р(В/А1) ≈ 1.

Р(А2) — априорная вероятность наступления второго возможного в этом случае события — неверности предположения о соответствии изделий ТУ. По теореме сложения вероятностей Р(А2) = 1–Р(А1).

Р(В/А2) — это вероятность успешно пройти периодические испытания на выборке в N штук изделий при дефектности остальной партии, и на основании теоремы умножений вероятностей [6]:

Р(В/А2) = P1×P2×…×PN = PN,

где Р — вероятности безотказной работы конкретных образцов, участвующих в испытаниях. Причем на основании методики, предложенной в [8], на начальных стадиях жизненного цикла изделия можно считать эту, в принципе неизвестную вероятность равной 0,5.

Тогда выражение (3) примет вид:

При значениях Р(А1), Р(А2), равных 0,5, и Р(В/А1), равном 1, зависимость апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам положительных испытаний выборки объема N от количества N изделий, подвергающихся испытаниям, иллюстрируют данные таблицы 1.

Таблица 1. Значения апостериорной вероятности правильности предположения о годности всей партии на начальных этапах разработки (для различных объемов выборки)

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P, % 50 67 80 86 90 92 93 94 95

Таким образом, для обоснования количества изделий для проведения предварительных испытаний необходимо выбрать значение N в таблице 1 так, чтобы величина Р(А1/В) была не меньше 1–β.

На этапе серийного выпуска, когда уже есть априорная информация о величине вероятности Р(А1), очевидно необходимо, учитывая объем партии, подставить ее значение в выражение (4). Учет необходим, так как речь идет о безотказности всей партии, а не одного изделия. Это можно осуществить на основании теоремы умножения вероятностей, то есть для партии, например, в 50 шт., показатель степени, в которую необходимо возвести подтвержденную ВБР изделия, будет равен 50. Затем подстановкой в (4) различных значений N определяют Р(А1/В) и, когда значение апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам положительных испытаний выборки объема N окажется не меньше 1–β, получают искомое число N.

В качестве примера в таблице 2 приведены значения апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам положительных испытаний выборки объема N от количества N изделий, подвергающихся испытаниям, для Р(А1) = 0,9.

Таблица 2. Значения апостериорной вероятности правильности предположения о годности всей партии при априорной вероятности безотказности 0,9 (для различных объемов выборки)

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P, % 90 91 91,7 92,5 93,2 93,8 94,4 95 95,5

Судя по данным таблицы 2, увеличение количества испытываемых изделий после 2 шт. мало увеличивает значение апостериорной вероятности соответствия продукции. Если определение объема выборки осуществляется для испытаний, проводимых за определенный временной интервал — квартал, полугодие, год, то необходимо, учитывая технологическое время изготовления одного изделия и производственные мощности, определить ориентировочный объем, который будет произведен за контролируемый период.

Заключение

Предложенный способ определения объема выборки ни в коем случае не претендует на абсолютность и законченность. Это попытка максимально объективно, аналитически обосновать количество изделий, отбираемых на длительные испытания. Способ, основывающийся на ранее полученных результатах, модернизирован путем учета дополнительных данных: информации о величинах характеристик изделий, установленных заказчиком — требуемой ВБР и риска потребителя.

Этот способ предлагается для широкого обсуждения, возможной оценки, доработки и внедрения.

Литература

  1. Гаманюк Д. Н. Вопросы оценки качества серийной продукции радиоэлектроники // Технологии в электронной промышленности. 2009. № 5.
  2. Груничев А. С., Кузнецов В. А., Шипов Е. В. Испытания радиоэлектронной аппаратуры на надежность. М.: Советское радио, 1969.
  3. Буловский П. И., Зайденберг М. Г. Надежность приборов систем управления / Справочное пособие. Л.: Машиностроение, 1975.
  4. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения.
  5. ГОСТ Р ИСО 9000-2008. Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь.
  6. Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика / Уч. пособие для экон. вузов / Под ред. В. А. Колемаева. М.: Высшая школа, 1991.
  7. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей / 2-е изд., перераб. и дополн. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982.
  8. Босс Р. Е. Статистические основы контрольно-выборочных испытаний // Вопросы ракетной техники. 1966. № 6.

Другие статьи по этой теме


 
ПОДПИСКА НА НОВОСТИ

Оцените, пожалуйста, удобство и практичность (usability) сайта:
Хорошо
Нормально
Плохо

Шкаф холодильный
Продажа оборудования для ресторанов. Магазин холодильного оборудования.
system4.com.ua