Способ обоснования объема выборки для испытаний изделий радиоэлектроники

Дмитрий Гаманюк

В предыдущей публикации [1] был поставлен
вопрос отсутствия строгого и нормативно
закрепленного метода определения объема
выборки для проведения периодических испытаний изделий радиоэлектронной аппаратуры (РЭА).
Такие испытания необходимы для подтверждения
соответствия изделий всем требованиям, которые установлены заказчиком, а также определения возможности продолжения выпуска по действующей конструкторской и технологической документации.

При оценке результатов периодических испытаний необходимо учитывать, что несоответствие
изделия хотя бы одному требованию, заложенному
в технических условиях (ТУ), однозначно заставляет
считать их результаты отрицательными. Таким образом, по исправному функционированию малой
части изготовленной партии будет оцениваться соответствие всей группы изделий.

Данное обстоятельство может привести к четырем
возможным результатам:

1. Из дефектной партии будут выбраны дефектные
   изделия, испытания будут отрицательными, а партия забракована.
2. Из соответствующей ТУ партии будут выбраны
   исправные изделия, испытания пройдут с положительными результатами, а партия принята и поставлена потребителю.
3. Из дефектной партии будут выбраны исправные
   изделия, испытания пройдут с положительными
   результатами, партия будет принята и поставлена
   потребителю.
4. Из соответствующей в целом ТУ партии будут
   выбраны дефектные изделия, испытания будут
   отрицательными, а партия забракована.

Последние два результата хотя и возможны,
но крайне нежелательны. Они предопределены
статистическо-вероятностным подходом к оценке
качества партии по некоторой выборке. Третий из
возможных результатов получил название «риск
потребителя», а четвертый — «риск поставщика».

Для определения количественной формы таких
рисков в техническом задании на разработку изделия заказчиком устанавливаются численные значения вероятностей принятия результатов 3 и 4. Риск
поставщика традиционно обозначается через α, риск
потребителя — через β.

Периодические испытания проводятся и для подтверждения соответствия изделий всем установленным заказчиком требованиям в течение всего
срока службы. Такое соответствие и определяется
как качество изделия. ГОСТ [5] определяет качество
как степень соответствия совокупности присущих
характеристик требованиям. Соответствие либо есть,
либо нет. Степень этого соответствия может быть
большой или маленькой. В любом случае это качественная оценка продукта.

Необходимость строгого аналитического обоснования количества изделий, подвергаемых испытаниям, неизбежно приведет к рассмотрению характеристик, имеющих реальные количественные значения.
Определение же качества изделия как понятия, скорее, похоже на философскую категорию, чем на количественную меру описания состояния продукта.

В этой связи полезно будет рассмотреть надежность как одну из характеристик изделий РЭА, в том
числе и их качества.

Надежность как переход к количественной
мере оценки качества изделий РЭА

Надежность — это свойство радиоэлектронных
приборов выполнять на требуемом уровне возложенные на них функции в определенных условиях
и в течение заданного промежутка времени, установленных в ТУ [2]. Официальные документы [4] дают
следующее определение: «Надежность — свойство
объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих
способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического
обслуживания, хранения и транспортирования».

Применительно к изделиям РЭА можно сказать,
что надежность — это свойство изделия сохранять
значения своих выходных параметров в заданных
пределах, установленных в ТУ в течение установленного срока функционирования [3]. Видно, что это
более конкретный, по сравнению с качеством,
показатель, характеризующий РЭА. Здесь уже
присутствуют требования и к определенному
значению параметров изделия, и к условиям,
в которых оно должно функционировать,
и ко времени этого процесса. Все эти основополагающие моменты в определении надежности
описываются количественно. Следовательно,
возможна формализация, как процесса расчета,
сравнения, так и оценки надежности. Это позволяет сравнивать уровни надежности аппаратуры разного функционального назначения,
устанавливать степень ее надежности.

Итак, хотя понятие надежности также относят к качественным характеристикам изделия,
существуют и вполне строгие ее количественные оценки. Это связано с тем, что заказчик
аппаратуры стремится получить изделие
со вполне конкретными, строго определенными свойствами, которые возможно установить
только на количественном уровне. Именно
поэтому, как на этапе проектирования, изготовления и испытания опытных образцов,
так и на этапе эксплуатации, производится
аналитическая оценка надежности с целью определения ее соответствия заданным в техническом задании требованиям. Необходимость
и возможность аналитического определения
надежности еще на этапе проектирования,
как будет показано далее, и позволит реализовать способ определения объема выборки
изделий, подвергаемых испытаниям.

Строго говоря, определяется не надежность,
а ее количественные показатели. Оценка качества изделий РЭА принципиально возможна с помощью двух подходов: вероятностного и статистического. Причем первый подход
реализуем на этапе предварительной оценки
надежности, то есть в ходе проектирования,
а второй — по результатам испытаний и эксплуатации. Таким образом, при количественном анализе качества может быть использован
аппарат математической статистики и теории
вероятностей.

Итак, основными количественными показателями надежности являются вероятность
безотказной работы (ВБР) и вероятность отказа [2, 3].

ВБР — это вероятность того, что за установленное время наработки (от 0 до t) в заданных
условиях эксплуатации не произойдет ни одного отказа РЭА:

p(t) = P {T_ср > t},

где T_ср — среднее время наработки до отказа.
Математическая статистика определяет вероятность безотказной работы по результатам
испытаний (эксплуатации) N₀ количества образцов:

p(t) = 1–[n(t)/N₀],

где n(t) — число изделий, отказавших за время t.

Отказ как событие противоположно безотказному функционированию, поэтому
вероятность отказа является величиной, противоположной ВБР. В соответствии с законами теории вероятностей вероятность отказа
можно определить по формуле:

q(t) = 1–p(t) = P {T_ср ≤ t}.

Статистическая формула для определения
вероятности отказа:

q(t) = 1–p(t) = n(t)/N₀.

Для практического расчета вероятности безотказной работы конкретных приборов РЭА
используются, как правило, методики, имеющие статус отраслевых стандартов, и созданные
на их основе стандарты предприятий. Имеющиеся, в соответствии с системой менеджмента
качества, на каждом сертифицированном предприятии подразделения надежности решают задачи определения надежности, как на этапе проектирования, так и в ходе эксплуатации изделия.
Это позволяет иметь результаты вероятностных
определений надежности на этапе проектирования и данные, подкрепленные статистикой,
после начала эксплуатации изделий.

Теорема гипотез и ее использование
для определения объема выборки

Решение задачи определения объема выборки предлагается на основе достижений раздела
математики — теории вероятностей. Такой
подход оправдан общим вероятностным описанием основных количественных характеристик надежности и, как следствие, качества.

В теореме гипотез [6, 7] используются понятия условной и безусловной вероятности.
Под условной вероятностью будем понимать вероятность наступления какого-либо
события, при условии, что другое, связанное
с ним событие произошло. Безусловная вероятность — это вероятность наступления
какого-либо события, не зависящего от остальных условий и событий. События будем
обозначать большими буквами латинского алфавита. Для системы попарно несовместных
событий А_i, Р(А_i) > 0, теорема гипотез может
быть сформулирована следующим образом.
Условная вероятность наступления события А_k при условии наступления события В
определяется как отношение произведения
условной вероятности наступления события
В при условии наступления события А_k на безусловную вероятность события А_k к безусловной вероятности наступления события В.

Система попарно несовместных событий
включает в себя элементарные события, которые, в условиях конкретной задачи, являются
взаимоисключающими. Например, при проведении периодических испытаний изделие
может либо выдержать испытания, либо нет.
Аналитически запись этой теоремы выглядит следующим образом:

Составляющие выражения (1) имеют
и «нематематическое» содержание. Выражение
слева от знака равенства является апостериорной вероятностью события А, то есть вероятностью, зависящей от наступления события В.
Вероятности Р(А_k) и Р(В) представляют собой
априорные вероятности, то есть вероятности,
полученные аналитически, до их экспериментальной оценки.

Если представить вероятность события В
(знаменатель (1)) через формулу полной вероятности события [6, 7], то формула (1) примет
вид:

В теории вероятностей формула (2) носит
название формулы Байеса — в честь английского математика XVIII века. Томас Байес
(Thomas Bayes, 1702–1761 г.) — священник
по своему призванию — доказал зависимость
(2), позволяющую повышать достоверность
определения вероятности события с помощью использования их эмпирических оценок.
В формуле Байеса условные вероятности физически представляют собой апостериорные
вероятности, то есть уточняемые в ходе решения задачи, а безусловные — априорные
вероятности событий — вычисленные, полученные до начала опыта.

Выводы работы Байеса, опубликованной
в 1763 г., уже после смерти автора, фактически
позволяют по оценкам факта наступившего
события определять вероятность возникновения этого факта по той или иной причине.

События А_i(i = 1…N) в выражении (2)
и представляют собой все возможные условия, влияющие на возникновение события В,
и называются гипотезами.

Вернемся теперь к надежности, ее количественным показателям и задаче обоснования объема выборки. На основании формулы Байеса опишем, используя обозначения
формулы (2), ситуацию, которая возникает
при проведении периодических испытаний.

В рассматриваемом случае целесообразно
рассмотреть две гипотезы: А₁ — о правильности предположения о соответствии изделий
всей партии требованиям ТУ и А₂ — о неправильном предположении соответствия изделий всей партии требованиям ТУ. Здесь
необходимо отметить, что абсолютная безотказность изделий невозможна. Как было сказано выше, в техническом задании заказчика
закладывается вероятность безотказной работы, которая, естественно, всегда меньше 1.
Поэтому в гипотезах речь идет не о безотказности изделий, а об их соответствии ТУ.
Учитывая, что требования к ВБР современной
электроники очень высоки, в данном случае
будем отождествлять понятия «безотказное
функционирование» и «соответствие ТУ».

Р(А₁/В) — апостериорная вероятность правильности предположения о безотказности
всей изготовленной партии при условии наступления события В — проведения успешных
испытаний N штук изделий. Эта вероятность
будет находиться слева от знака равенства.

Р(А₁) — априорная вероятность наступления гипотезы 1 — правильности предположения о безотказности всей партии.

Р(В/А₁) — вероятность успешного испытания N изделий из партии, при условии,
что гипотеза А₁ верна. Иначе говоря, это вероятность успешно пройти периодические
испытания на выборке при ВБР изделия, соответствующей ТУ.

Р(А₂) — априорная вероятность наступления второй гипотезы — неверности предположения о безотказности всей партии изделий.

Р(В/А₂) — вероятность успешного испытания N образцов, при условии, что гипотеза А₂ верна. То есть это вероятность успешно
пройти периодические испытания на выборке
в N штук изделий при дефектности остальной
партии.

Таким образом, на основании (2):

Такая запись была предложена Р. Е. Боссом
в 1965 г. [8].

Проанализируем составляющие выражения
(3).

Величина Р(А₁/В) — искомое значение апостериорной вероятности правильности оценки
всей партии по результатам положительных
испытаний выборки объема N. Фактически
это вероятность, обратная значению риска
потребителя β. Информация о значении β есть
в ТУ на любое изделие из рассматриваемой
группы. В соответствии с теоремой сложения
вероятностей [6]: Р(А₁/В) = 1–β.

Р(А₁) — априорная вероятность правильности предположения о безотказности изделий.
Величина этой вероятности будет меняться
при прохождении стадий разработки изделий.
На этапе проектирования, когда нет подтвержденных испытаниями и эксплуатацией значений ВБР, значение вероятности целесообразно
принять равным 0,5. Если безотказность меньше 0,5, испытания проводить нецелесообразно.
В дальнейшем, на этапе уже серийного производства значение Р(А₁) будет возрастать.

Р(В/А₁) — по условиям задачи приближается к 1 и принимается равной этому значению.
Действительно, при успешном функционировании ВБР изделия соответствует своему
расчетному значению, а если оно близко к 1,
то и Р(В/А₁) ≈ 1.

Р(А₂) — априорная вероятность наступления второго возможного в этом случае
события — неверности предположения о соответствии изделий ТУ. По теореме сложения
вероятностей Р(А₂) = 1–Р(А₁).

Р(В/А₂) — это вероятность успешно пройти периодические испытания на выборке в N
штук изделий при дефектности остальной
партии, и на основании теоремы умножений
вероятностей [6]:

Р(В/А₂) = P₁×P₂×…×P_N = P^N,

где Р — вероятности безотказной работы
конкретных образцов, участвующих в испытаниях. Причем на основании методики,
предложенной в [8], на начальных стадиях
жизненного цикла изделия можно считать
эту, в принципе неизвестную вероятность
равной 0,5.

Тогда выражение (3) примет вид:

При значениях Р(А₁), Р(А₂), равных 0,5,
и Р(В/А₁), равном 1, зависимость апостериорной вероятности правильности оценки
всей партии по результатам положительных
испытаний выборки объема N от количества
N изделий, подвергающихся испытаниям, иллюстрируют данные таблицы 1.

Таблица 1. Значения апостериорной вероятности
правильности предположения о годности
всей партии на начальных этапах разработки
(для различных объемов выборки)

Таким образом, для обоснования количества изделий для проведения предварительных
испытаний необходимо выбрать значение N
в таблице 1 так, чтобы величина Р(А₁/В) была
не меньше 1–β.

На этапе серийного выпуска, когда уже есть
априорная информация о величине вероятности Р(А₁), очевидно необходимо, учитывая
объем партии, подставить ее значение в выражение (4). Учет необходим, так как речь идет
о безотказности всей партии, а не одного изделия. Это можно осуществить на основании
теоремы умножения вероятностей, то есть
для партии, например, в 50 шт., показатель
степени, в которую необходимо возвести
подтвержденную ВБР изделия, будет равен 50.
Затем подстановкой в (4) различных значений
N определяют Р(А₁/В) и, когда значение апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам положительных испытаний выборки объема N окажется
не меньше 1–β, получают искомое число N.

В качестве примера в таблице 2 приведены
значения апостериорной вероятности правильности оценки всей партии по результатам
положительных испытаний выборки объема
N от количества N изделий, подвергающихся
испытаниям, для Р(А₁) = 0,9.

Таблица 2. Значения апостериорной вероятности
правильности предположения о годности всей
партии при априорной вероятности безотказности
0,9 (для различных объемов выборки)

Судя по данным таблицы 2, увеличение количества испытываемых изделий после 2 шт.
мало увеличивает значение апостериорной
вероятности соответствия продукции.
Если определение объема выборки осуществляется для испытаний, проводимых за определенный временной интервал — квартал, полугодие, год, то необходимо, учитывая технологическое время изготовления одного изделия
и производственные мощности, определить
ориентировочный объем, который будет произведен за контролируемый период.

Заключение

Предложенный способ определения объема выборки ни в коем случае не претендует
на абсолютность и законченность. Это попытка максимально объективно, аналитически
обосновать количество изделий, отбираемых
на длительные испытания. Способ, основывающийся на ранее полученных результатах,
модернизирован путем учета дополнительных
данных: информации о величинах характеристик изделий, установленных заказчиком —
требуемой ВБР и риска потребителя.

Этот способ предлагается для широкого
обсуждения, возможной оценки, доработки
и внедрения.

Литература

1. Гаманюк Д. Н. Вопросы оценки качества
   серийной продукции радиоэлектроники //
   Технологии в электронной промышленности. 2009. № 5.
2. Груничев А. С., Кузнецов В. А., Шипов Е. В.
   Испытания радиоэлектронной аппаратуры
   на надежность. М.: Советское радио, 1969.
3. Буловский П. И., Зайденберг М. Г. Надежность приборов систем управления / Справочное пособие. Л.: Машиностроение,
   1975.
4. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике.
   Основные понятия. Термины и определения.
5. ГОСТ Р ИСО 9000-2008. Системы менеджмента качества. Основные положения и словарь.
6. Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика / Уч. пособие для экон.
   вузов / Под ред. В. А. Колемаева. М.: Высшая школа, 1991.
7. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей / 2-е изд., перераб. и дополн. М.: Наука,
   Главная редакция физико-математической
   литературы, 1982.
8. Босс Р. Е. Статистические основы контрольно-выборочных испытаний // Вопросы ракетной техники. 1966. № 6.